离散化建筑设计

王晖，浙江大学建筑工程学院建筑学系教授，浙江大学建筑设计研究院打算性设计研究中央主任；

叶子超，浙江大学平衡建筑研究中央助理工程师；

刘梦嫚，浙江大学建筑工程学院硕士研究生；

丁一，浙江国兴投资集团有限公司职员；

秦阗怡，大象建筑设计有限公司工程师。

本文摘自《离散几何在建筑打算性设计中的运用：一个框架性描述》，原文刊登于《建筑师》杂志2023年10月刊，总第225期P12-19。
头条版已略去文中所有注释、图片来源、参考文献等信息，正式版本以原文为准。

本刊所有文章均已在中国知网、国家哲学社科文献中央、超星、万方、维普等数据库上线，用户可自行下载阅读。
引用格式：王晖，叶子超，刘梦嫚等. 离散几何在建筑打算性设计中的运用：一个框架性描述[J]. 建筑师，2023（05）：12-19.

离散几何是研究各种几何工具，如点、直线、圆、多边形、多面体的组合性子和排布规律的几何学门类，包含镶嵌、关联、离散微分和拓扑组合等多种分支。
离散几何在建筑设计尤其是打算性设计方面有主要的运用代价。
本文初步梳理离散几何的干系观点，磋商运用范畴和运用潜力，考试测验构建一样平常性的认知和运用体系，以充足当代建筑几何学的理论内涵。

目录概览

一、引论

几何学是对建筑学构成支撑的根本学科之一。
从古埃及到中世纪再到近当代期间，从建筑的意匠构思到设计法则乃至施工建造，几何事理都持续扮演着重要的角色。
建筑领域对几何学的运用研究由来已久，少数建筑师如G.笛沙格（Girard Desargues）和B.富勒（Buckminster Fuller）等人，也对几何学作出过突出的贡献。
近年来奥地利打算几何学家H.波特曼（Helmut Pottmann）明确提出了建筑几何学（Architectural Geometry）的观点，它可以理解为面向建筑领域的几何学干系知识的集成。
与过去比较，当代建筑设计在繁芜性、系统性和设计建造一体化等方面有更高的哀求，因此对几何学事理的需求也更为急迫。

目前建筑几何学中谈论较多的是拓扑几何、分形几何、微分几何和打算若干好多么，已有丰富的研究成果。
与这些几何门类比较，本文所磋商的离散几何（Discrete Geometry）不太为人们所熟知。
离散几何也称为组合几何（Combinatorial Geometry），是研究“离散”几何工具如点、直线、圆、多边形、多面体、球体、多胞体（高维空间）等的组合性子和排布规律的几何分支。
个中“离散”的基本意义是指元素的相对独立、分离状态，与“连续、不可分”的意义相对立。
形态组合对设计事情的主要性不言而喻，尤其建筑设计而言，很多环节的事情从抽象层面都可以看作二维或三维形态的组织问题。
因此，离散几何必然与建筑设计之间有密切的关联性。

随着智能化工具的遍及，打算性设计成为当代建筑设计的前沿研究领域之一。
按照孙澄教授的定义，建筑打算性设计是基于人居环境系统科学与繁芜性科学思想，面向建筑方案创作需求，运用适宜的人工智能技能，展开多性能目标耦合考虑下的建筑设计元素自组织天生与自适应优化，天生建筑设计方案的过程。
建筑打算性设计的研究范畴可以更为宽泛，例如有学者认为也包含信息感知与知识表示、模型与学习方法、多维评价方法等方面。

建筑打算性设计依赖人工智能技能的支撑，后者可分为数据驱动和规则驱动两种大的类型。
近两年以数据驱动为特色的AI技能发展迅速，引发了全社会的关注，但在建筑打算性设计等专业细分领域，规则驱动仍旧霸占极为主要的位置。
与过程不可解析、不可掌握的“黑箱”智能比较，规则驱动的上风包括内在逻辑性强、过程相对可控、打算速率快、逻辑演绎方法具有更好的创新探索能力等。

离散几何的研究工具具有直不雅观性和可打算性强的特点，它们的组合性子和排布规律，对基于规则驱动的打算性设计有主要支撑浸染，特殊是在数理规则勾引下的形态天生、模式穷举、性能评价与优选等方面。
然而迄今为止在建筑设计领域对付离散几何还缺少清晰的谈论，不少案例已涉及了离散几何，但未能明确根本事理及其在几何学体系中的定位。
因此，本文紧张面向建筑打算性设计的运用需求，梳理离散几何的干系观点，磋商一样平常性的运用范畴和运用潜力，初步构建认知框架和运用体系，以充足当代建筑几何学的理论内涵。

二、离散几何干系研究范畴

离散几何紧张在20世纪得到了显著发展，数学家László Fejes Tóth、H.S.M. Coxeter和Paul Erdös等人奠定了当代离散几何的理论根本。
自20世纪80年代以来，离散几何各分支在打算机工具的支撑下呈加速发展态势，运用范围已拓展到自然地理学、材料学、晶体学、分子生物学、打算机图形学、设计学等多个领域。
在由欧洲数学学会和美国数学学会共同发布的新版数学学科分类目录（MSC2020）中，“凸体与离散几何”与其他90多个分支如数论、拓扑学、分形若干好多么共同列入一级目录。

目前海内涵离散几何方面的根本研究还相对薄弱，同时离散几何的知识体系相称繁杂，纵然在数学界内部的意见也不完备统一，给运用研究造成了一定的困难。
鉴于这种情形，本文首先基于国内外主流文献进行了根本认知的梳理，考试测验归纳离散几何范畴下与建筑打算性设计关系密切的分支。
个中包含两大方面：作为内涵的基本范畴（直不雅观研究工具）和作为外延的拓展范畴（学科交叉领域）。

1.离散几何的直不雅观研究工具

基于维度的视角，可以把离散几何的直不雅观研究工具分为两类：同维度几何工具的组合，以镶嵌（Tiling）为主；不同维度几何工具（紧张涉及点与线）的组合，即关联问题（Incidence）。

1）同维度组合问题，此方面紧张包括镶嵌、填装、覆盖以及格与离散群等。
镶嵌是指用几何形体铺满空间，形体之间不存在空隙与重叠，研究较多的是二维平面镶嵌（Tessellation）和三维立体镶嵌（Honeycomb）。
与镶嵌干系的观点是填装（许可空隙）和覆盖（许可重叠），如果将空隙或重叠部分看作图元，也可以将二者转换为镶嵌模式（图 1）。

图1：填装、镶嵌与覆盖

设计领域的既往研究多以对称性为依据，将镶嵌分为周期性（Periodic）、准周期（Quasi-periodic）与非周期（Aperiodic/ Non-periodic）三种类型，但在离散几何体系下有更为精确的分类办法。
在二维和三维范畴下，根据镶嵌元素的交边、交点性子，可将镶嵌分为从一样平常到分外的四个层级（图 2）。

一级为各种多边形和多面体构成的镶嵌，包括交边对交边镶嵌和非交边对交边镶嵌；二级分类在交边对交边镶嵌的根本上，对交点类型加以约束，如果镶嵌存在m种类型的交点，称为m交点镶嵌；三级分类进一步将镶嵌单元限定为正多边形或均匀多面体，即均匀镶嵌（uniform tiling），再按照交点类型和通报集类型（阶数）进行细分，各种型包含有限数量的模式，如平面单交点—1阶均匀镶嵌的类型只有11种（不含亚型）；四级分类进一步约束为所有交点、交边和单元均全等，只包含3种正多边形镶嵌与1种立方体镶嵌。
这种分类能够对基本元素类型进行定量描述、剖析和掌握，在打算性操作中有主要的运用代价。

图2：二维与三维镶嵌的分类和范例图式

格（Lattice）与离散群（Discrete Gr-oup）是离散几何的主要研究工具，它们以对称性操作作为数理根本，与晶体构造的关系密切。
周期性晶体的基本单元具有同一性，不同的对称分布办法决定了不同的性子。
晶体学中将基本单元抽象为点，点的空间分布构成了空间点阵（也称为晶格）。
数学上目前证明在二维空间中有5种布拉维格（Bravais Lattice）和17种离散对称群（图 3），三维空间中有14种布拉维格和230种离散对称群。
它们与镶嵌之间也有密切关系，如由14种布拉维格子推导出的维格纳—赛茨晶胞（Wigner-Seitz Cell）可构成空间镶嵌，每种镶嵌的基本单元完备相同（图 4）。

图3：平面布拉维格和离散对称群

图4：可构成镶嵌的规则多面体（晶胞）与对应的空间点阵（晶格）

2）关联问题。
由两种不同维度的工具以及这些工具之间的单一关系组成的抽象系统称为关联构造。
例如在欧几里得平面中，考虑点和线的连接或非连接关系，选择性忽略间隔、方向等性子，得到的便是一种关联构造。
关联构造可以处理更高维度的工具（n维空间、非欧空间等），而研究最多的还是点—线关联。
对设计事情来说，关联构造在空间关系、功能关系、连接关系的研究中有主要代价。

超图（Hypergraph）不限定每条线关联的顶点数量，属于一样平常性关联构造，个中每条线关联的点数均为K的超图称为K阶均匀超图（图 5）。
2阶均匀超图称为图（Graph），即每条线只关联两个顶点。
图是图论（Graph Theory）的紧张研究工具，后者包含著名的“七桥问题”等。
根据连接关系可将图单元分为多种类型（图6），如多重图—大略图、定向图—非定向图、平面图—非平面图（在连线不交叉时无法在平面内绘制）、循环图—非循环图等，这些性子对设计事情有主要代价。

图5：三种 3 阶均匀超图示例（限定直线或者曲线不包含拐点）

图6：图（Graph）的多种分类

2.与其他几何分支的交叉领域

离散几何与微分几何、拓扑几何、打算几何之间存在广泛的交叉领域（图7），它们拓展了离散几何的研究范畴，从中产生了很多强有力的数学工具。

图7：离散几何与其他几何分支的交叉

1）离散微分几何（Discrete Differential Geometry）是离散几何与微分几何的交叉。
微分几何是利用微积分工具研究曲线与曲面性子的数学分支。
相应地，离散微分几何紧张探索平滑曲面的离散等价物的布局方法，以办理曲面的组合建构和打算性问题。
对连续工具进行离散化处理也是著名的“有限元剖析”方法的理论根本，构造离散后的网格质量直接影响到打算精度。
从离散微分的角度，可以将曲面网格区分为共轭网格、正交网格、渐近网格、等温网格等，不同网格有各自的特色和处理上风。
离散微分几何首先被运用在打算机图形学的方面，在曲面建模和渲染方面具有主要代价，也广泛运用于机器制造、工业设计、建筑设计、打算解剖学等领域。

2）拓扑组合（Topology Combinatorics）来自离散几何与拓扑几何的交叉。
表面看来，拓扑几何与离散几何的研究范畴恰好相反，前者紧张研究拓扑变换下图形的连续、连通性问题，后者究离散性问题，但正是在二者向对方转化的领域产生了特殊的创新代价。
例如拓扑技能在办理著名的组合问题如Kneser着色猜想中起了主要浸染，而离散Morse理论为拓扑构造可视化、拓扑曲面重构带来了新的办理方案。
拓扑组合紧张涉及拓扑事理在离散工具上的运用、拓扑工具的组合特色，以及开拓拓扑技能处理组合问题及部分图论问题。
拓扑事理为离散构造的繁芜性变换供应了支持，在形态设计中有主要运用代价。

3）打算几何紧张研究几何问题的打算性表达和算法开拓，一样平常分为数值打算几何和组合打算几何两类。
个中数值打算几何构成了CAD / CAM系统的根本；组合打算几何（Combinatorial Computational Geometry）用算法处理几何构造，关注欧式空间中离散工具的算法设计，是打算几何与离散几何的交叉领域。
后者包含了建筑师所熟习的Voronoi图布局、凸壳打算、三角剖分等，也包含几何查找（检索）、交与并、几何体的排列、形状重修、运动方案等范畴。
打算几何的特色在于其工具性而不限于特定的几何工具，建筑界谈论过的“算法几何”大致属于打算几何的范畴。

三、在建筑打算性设计中的运用

1.同维度几何组合与形态设计

镶嵌在建筑中的运用有悠久的历史，只是过去缺少从数学角度的剖析归纳。
例如数学家指出，建于12世纪末的伊朗马拉盖地区的墓塔（Blue Tomb）已经利用了准周期镶嵌图案。
在当代建筑设计中，平面镶嵌多用于建筑的表皮设计，空间镶嵌多用于构造形态和造型设计。
构造化的表皮设计也常用到空间镶嵌模式，如北京奥运会拍浮馆和冰岛HARPA音乐厅。
后者以当地范例的地质布局玄武岩为主题，其基本几何构造属于维格纳—赛茨晶胞中的单斜点阵（图4-18）。
该建筑表皮在具有构件统一性的同时，实现了晶莹夺目的晶体效果（图 8）。

图8：冰岛 HARPA 音乐厅南立面及表皮设计剖析

镶嵌原型的维度转换是设计创新的主要路子。
利用打算性设计工具，通过拉伸、折叠、包裹等升维操作和剖切、投影等降维操作，可以快速进行二维与三维转换，天生多种繁芜形态。
这方面已经有大量的建筑实践案例。

填装与覆盖方面，传统的屋面瓦铺装以及鱼鳞状墙板构造事实上利用了覆盖事理。
填装问题与建筑形体的虚实关系处理有一定的共通性，例如最密集球填装问题、立方空间中多种方体的填装等，在当代建筑打算性设计中的运用值得探索。

在基本单元确定的“自下而上”的天生设计中，单元的复制所遵照的对称性均包含于格与对称群揭示的有限类型之中。
在这些数学规则的支持下，能够以极小的打算量天生给定条件下的所有形态，对付模式穷举有主要代价。
17种平面对称群已广泛用于传统的建筑装饰和印染图案设计方面，更为繁芜多样的空间对称群在三维形态的打算性天生、离散自动化建造方面有较大的运用潜力。

2.关联构造与功能/空间关系图

由于其高度的抽象性，关联构造的运用范围很广，从城市群剖析到室内空间支配都有很强的适用性。
超图不限定一条边（路径）所关联的节点数量，可用于交通网络设计、路径方案、举动步伐选址等方面。
而建筑打算性设计中最常用的还是图（graph），如功能气泡图在数学上属于一种大略图。
对建筑空间进行抽象后，每每能创造隐含的逻辑，一个早期的范例是March等人利用空间图语法（Spatial Graph Grammar）将F. L.赖特设计的三种别墅平面抽象为类似的图解（图9）。

图9：利用空间图语法（SGG）对 F. L. 赖特住宅的剖析

图论事理可广泛运用于空间天生设计，例如平面图—非平面图可以剖断某种空间关系是否能在单层平面中实现；循环图—非循环图、定向图—非定向图可用于不同交通组织模式的性能比拟；最小天生树（Minimum Spanning Tree，准确名称应为最小连通树）是探求一种非循环图，使全体图中所有路径之和最小，多用于交通流线或空间骨架的天生设计。

图论的一些根本参数已在多种空间剖析工具中得到运用。
例如图论中的度（Degree）是指与一个节点直接相连的边数，在空间句法中称为连接度（Connectivity），在空间设计网络剖析（sDNA）和城市网络剖析（UNA）等分别称为线性连接度（Line Connectivity）和到达（Reach）；中间中央度（Betweenness Centrality）表示某条轴线或某条街道段位于从任一空间到其他空间的最短路径上的次数，在空间句法中称为选择度（Choice），在sDNA和UNA中称为中间度（Betweenness）；而在社会网络剖析（SNA）理论中上述参数沿用了图论里的原有名称（表 1）。
在实际运用中，点与线的选择可以根据须要决定，例如将街道作为空间主体而不是连接体进行剖析。

3.离散微分与曲面优化

传统的砖石建筑可以看作是一种“离散化”建造办法，而拱是用离散材料形成大跨度空间的力学与几何学选择。
离散材料的曲面造型能力可以达到惊人的水平，如20世纪乌拉圭建筑师E.迪埃斯特（Eladio Dieste）用黏土砖建造的一系列厂房与仓库建筑。
当代建筑几何学中，曲面的找形、优化与细分一贯是热点研究领域。
在离散微分事理的支撑下，建筑师能够进行更为多样化、前沿性的探索。

在曲面形态设计中每每存在找形和优化两种事情类型。
基于离散材料的找形逻辑，与基于连续材料（如3D打印）的逻辑差异很大。
ETH的BLOCK研究小组（BRG）2016年在威尼斯双年展上建造了一个跨度达到16m的拱壳构造。
与A.高迪、F.坎德拉等前辈大师不同，这个拱壳利用了399块石灰石板（图 10），多数厚度为5cm，没有用任何砂浆粘结剂。
基于离散微分事理的打算性设计方法─推力网络剖析方法（Thrust Network Analysis）代替了20世纪的“逆吊法”，帮助建筑师找到了只包含压力的拱壳形式及相应的网格细分，肃清了所有弯矩，从而使大略开槽拼装的“离散化”建造办法成为可能。

图10：BRG 建造的拱壳构造“犰狳”（左）及基于静力学的曲面细分（右）

曲面幕墙的建造同样须要离散化处理，形态优化和单元细分的质量对造型、施工和造价的影响很大。
在构件层面上，将双曲面优化为单曲面、细分曲面为平面、减少构件类型是优化设计的一样平常原则。
虽然常见曲面均易转换为三角单元网格，但这种拟合每每不能反响曲面主方向，每个交点搜集6条边，节点比较繁芜。
利用离散微分事理将曲面拟合为平面四边形（Planar Quad）网格是常用的优化方案之一，这种平面单元便于加工，网格整体呈现为双向掌握线，且大都沿主曲率方向分布，更能反响几何形体特色。
曲面优化是深化设计能力的试金石，例如与早期作品广州歌剧院的石材幕墙比较，ZAHA事务所近年的澳门Morpheus酒店等作品在曲面细分和空间整合度上达到了更高的水准。

4.拓扑组合与形态创新

拓扑组合工具在处理几何工具的多样性方面具有突出上风。
例如将镶嵌原型和拓扑变换结合起来，能够产生大量新颖的图形群。
镶嵌的拓扑变换是一种镶嵌单元连续地变形为另一个无撕裂点的镶嵌模式，在变换过程中原交点的阶数、临近单元数保持不变；在类型上可以分为基于交点、交边和复合型拓扑变换。
根据拓扑剖析，可以创造许多直不雅观上毫无关系的镶嵌图形属于拓扑同胚，能够实现连续性变换（图 11）。
而这些图形的对称类型并未发生变革，提示了从对称群出发进行逆向操作的可能性。

图11：拓扑同胚的镶嵌图案

基于交点特色的镶嵌图形分类为拓扑变换奠定了根本。
以P3型彭罗斯镶嵌为例，首先根据其7交点特色，基于核心交点提取7种基本单元，然后以其他交点相对付核心交点的偏移矢量为连续函数，调节位移量及角度变量天生多种变形模式（图12）。
与原图比较，变形后的图形坚持了准周期的旋转对称性，但又产生了新的特点，如第3种模式的外不雅观尺度有所膨胀，强化了彭罗斯镶嵌的分形特色。
这种拓扑变换操作通过大略的参数掌握，天生极为丰富的新形态。
类似的操作也可以用于关联构造，在空间布局的天生设计中有较大的运用潜力。

图12：基于交点性子对彭罗斯镶嵌原型（左上）所做的 3 种变换

5.面向离散工具的算法运用

打算几何的算法工具已经渗透到建筑几何学的各个方面。
算法的内涵首先是一套可实行的逻辑规则，其次是集成化的编程措辞。
针对上述离散几何问题，数学领域已开拓出大量算法，例如添补问题中的圆球填装可以采取Kangaroo算法，Grasshopper平台也有相应插件进行直不雅观仿照；图论中的最小天生树问题，紧张有Kruskal算法（加边法）、Prim算法（加点法）和破圈法三种算法；离散微分范畴下的形状（曲线和曲面）重修算法在动态建模与优化方面有运用代价；属于附近问题的Voronoi算法已广泛用于建筑表皮、平面与空间形态的天生设计；运动方案问题的干系算法可用于智能建造中机器臂的可达性与碰撞问题等。
这些问题中有不少是开放性的，还没有终极办理方案，只有阶段性的最佳逼近方法。

四、体系化认知与运用

基于以上稽核，可初步梳理离散几何范畴下与建筑打算性设计关系密切的内容，总结一样平常性运用领域（表 2）。
作为运用根本研究，这种事情并非“发明”一种新理论，而是将既有的、局部性的履历和实践收纳于一个体系化的认知框架内，并启示新的运用可能性。

与片段化的认知比较，形成知识体系至少在三个方面具有更大的上风。
第一是面对实际问题，有助于快速定位它在数学领域所处的范畴，更快地找到精确的办理路子；第二是数学体系的逻辑严整性有助于设计师利用演绎的办法探索新的运用潜力，例如很随意马虎创造历史履历只触及到了某些局部，数学方面还有更为广阔的领域有待挖掘；第三是有助于通过分支体系之间的联系与交叉，综合多种工具进行设计创新探索。
离散几何的上述分支之间存在密切的关联，例如镶嵌的精确分类为拓扑变换奠定了根本，关联构造也关涉网格问题，离散微分可以看作寻求合理镶嵌模式的过程，而险些所有的领域都越来越依赖算法的支持。

在综合利用数学工具进行设计创新方面，SKOPE事务所设计的布鲁塞尔法语部议会大楼供应了一个简明的例子。
大楼的幕墙设计经由剖析是提取P3型彭罗斯镶嵌的交点，再对交点进行Voronoi运算，得到了由5种多边形构成的新型图案（图 13）。
虽然设计者未必从几何体系的角度展开思考，但从数学范畴来看，其创新性在于将算法和镶嵌原型进行结合，用少数模件的组合得到了随机性效果。
这种方法论具有一定的普遍性意义。

图13：布鲁塞尔议会法语部办公楼及其表皮天生逻辑剖析

五、结语

数字化的逻辑根本之一，便是用离散的点集代替现实工具，从而得到可打算与可操控性。
离散几何着重研究的组合问题，在内涵上与建筑打算性设计有深刻的同等性，因此从观点阶段的形态天生、到依据条件进行适应性变换，再到成果的评估、优化乃至装置式与智能化建造等，离散几何事理的运用可以贯穿设计前期、中期和后期的全过程。

在人工智能技能突飞年夜进的背景下，建筑设计已经呈现出越来越强的打算性和整合性发展趋势。
在方法层面，一方面有基于数据和案例的机器学习，另一方面有基于数理规则的演绎与天生。
依托离散几何的数学体系，有助于将片段化的知识和履历整合在一个较为完全、清晰的框架内，探索新的运用范式，从而发挥更大的知识效能。
同时跨学科研究也是一项极富寻衅性的事情，本文只能基于目前有限的认识，以设计运用为导向初步梳理离散几何的认知与运用体系，这方面的事情还须要今后不断进行改动、完善与提升。